Wyznaczanie funkcji Greena przy pomocy odwzorowań konforemnych

Przypomnijmy, że punkt \( \hskip 0.3pc (x,y)\in\mathbb R^2\hskip 0.3pc \) możemy identyfikować z liczbą zespoloną \( \hskip 0.3pc z=x+iy\hskip 0.3pc \) i na odwrót. W konsekwencji zbiór \( \hskip 0.3pc \Omega \subset \mathbb R^2\hskip 0.3pc \) możemy utożsamiać z odpowiadającym mu zbiorem liczb zespolonych. Ponieważ nie prowadzi to do nieporozumień, w dalszym ciągu zbiory te będziemy oznaczać tym samym symbolem.

Definicja 1:

Funkcje \( \hskip 0.3pc f:\Omega \to \mathbb C\hskip 0.3pc \), \( \hskip 0.3pc \Omega \subset \mathbb C,\hskip 0.3pc \) nazywamy odwzorowaniem konforemnym, jeśli odwzorowanie to zachowuje kąty, tzn. jeśli \( \hskip 0.3pc t\mapsto w_1(t),\hskip 0.1pc \) \( \hskip 0.3pc t\mapsto w_2(t),\hskip 0.1pc \) \( \hskip 0.3pc t\in [t_0,t_1],\hskip 0.3pc \) są dwoma krzywymi regularnymi wychodzącymi z punktu \( \hskip 0.3pc z\in\Omega,\hskip 0.3pc \) to kąt między tymi krzywymi w punkcie \( \hskip 0.3pc z\hskip 0.3pc \) pokrywa się z kątem między krzywymi \( \hskip 0.3pc t\mapsto f(w_1(t)),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc t\mapsto f(w_2(t))\hskip 0.3pc \) w punkcie \( \hskip 0.3pc f(z).\hskip 0.3pc \)

Uwaga 1:

Każda funkcja analityczna \( \hskip 0.3pc f:\Omega \to \mathbb C\hskip 0.3pc \) taka, że \( \hskip 0.3pc f'(z)\neq 0\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc z\in \Omega\hskip 0.3pc \) jest odwzorowaniem konforemnym.

Niech \( \hskip 0.3pc \Omega\subset \mathbb C\hskip 0.3pc \) będzie ograniczonym obszarem o gładkim brzegu \( \hskip 0.3pc \partial\Omega.\hskip 0.3pc \) Niech \( \hskip 0.3pc w\hskip 0.3pc \) będzie konforemnym odwzorowaniem obszaru \( \hskip 0.3pc \Omega\hskip 0.3pc \) w kulę \( \hskip 0.3pc |z|<1.\hskip 0.3pc \) Dla \( \hskip 0.3pc z_0\in \Omega\hskip 0.3pc \) połóżmy

(1)

\( f(z;z_0)=\dfrac{w(z)-w(z_0)}{1-\overline{w(z_0)}\,w(z)}. \)

Nietrudno sprawdzić, że funkcja \( \hskip 0.3pc f(\,\cdot\,;z_0)\hskip 0.3pc \) odwzorowuje konforemnie obszar \( \hskip 0.3pc \Omega\hskip 0.3pc \) w kulę \( \hskip 0.3pc |z|<1,\hskip 0.3pc \) przy czym \( \hskip 0.3pc f(z_0;z_0)=0.\hskip 0.3pc \) Ponieważ \( \hskip 0.3pc f'(z;z_0)\neq 0\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc z\in \Omega,\hskip 0.3pc \) zatem

(2)

\( f(z;z_0)=(z-z_0)\varphi (z;z_0), \)

gdzie \( \hskip 0.3pc \varphi (\,\cdot;z_0)\hskip 0.3pc \) jet funkcją analityczną w \( \hskip 0.3pc \Omega\hskip 0.1pc \), \( \hskip 0.3pc \varphi (z_0;z_0)=0\hskip 0.3pc \), \( \hskip 0.1pc \varphi '(z;z_0)\neq 0\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc z\in \Omega.\hskip 0.3pc \)

Korzystając z wymienionych własności odwzorowań konforemnych pokażemy, że funkcje Greena dla operatora Laplace'a w obszarze \( \hskip 0.3pc \Omega \subset \mathbb R^2\hskip 0.3pc \) można wyrazić wzorem

(3)

\( G(x,y,x_0,y_0)= -\dfrac 1{2\pi}\ln |f(z;z_0)| =-\dfrac 1{2\pi} {\rm Re}\ln f(z;z_0). \)

W tym celu wystarczy sprawdzić, że funkcja ta spełnia warunki (i) i (ii) uwagi 1 z modułu "Funkcja Greena dla równania ciepła".
Istotnie, zgodnie z wzorem ( 2 )

\( G(x,y,x_0,y_0)= -\dfrac 1{2\pi}\ln |z-z_0| -\dfrac 1{2\pi} \ln |\varphi (z;z_0)|. \)

Oczywiście pierwsza z funkcji po prawej stronie ostatniego wzoru jest harmoniczna dla \( \hskip 0.3pc (x,y)\neq (x_0,y_0).\hskip 0.3pc \) Ponieważ \( \hskip 0.3pc \ln |\varphi (z;z_0)|={\rm Re}\ln \varphi (z;z_0),\hskip 0.3pc \) również funkcja \( \hskip 0.3pc \ln |\varphi (\cdot ;z_0)|\hskip 0.3pc \) jest harmoniczna, jako część rzeczywista funkcji analitycznej \( \hskip 0.3pc \ln \varphi (\,\cdot \,;z_0).\hskip 0.3pc \) Z tych samych powodów funkcja ta jest harmoniczna względem zmiennych \( \hskip 0.3pc (x_0,y_0)\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc (x_0,y_0)\neq (x,y).\hskip 0.3pc \) Oznacza to, że warunek (i) jest spełniony. Ponieważ dla \( \hskip 0.3pc z\in \partial \Omega,\hskip0.1pc \) \( \hskip 0.3pc |f(z;z_0)|=1,\hskip 0.3pc \) zachodzi również warunek (ii).

Przykład 1:

Znaleźć funkcje Greena dla operatora Laplace'a i kuli \( \hskip 0.3pc B(0,R).\hskip 0.3pc \)

Zauważmy, że funkcja

\( f(z;z_0)=\dfrac {R (z-z_0)}{R^2-\overline z_0\,z} \)

odzorowuje w sposób konforemny kulę \( \hskip 0.3pc |z|<R\hskip 0.3pc \) na kulę \( \hskip 0.3pc |z|<1,\hskip 0.3pc \) przy czym punkt \( \hskip 0.3pc z_0\hskip 0.3pc \) przechodzi w punkt \( \hskip 0.3pc 0.\hskip 0.3pc \) Zgodnie ze wzorem ( 3 ) mamy

\( \begin{aligned}G(x,y,x_0,y_0)=& -\dfrac 1{2\pi}\ln \Big| \dfrac {R (z-z_0)}{R^2-\overline z_0\,z}\Big| =\dfrac 1{2\pi}\ln \Big| \dfrac{R^2-(x_0-iy_0)(x+iy)}{R (x+iy-x_0-iy_0)}\Big| =\\=&\dfrac 1{4\pi}\ln \dfrac{(R^2-xx_0-yy_0)^2+(x_0y-xy_0)^2}{R^2\big((x-x_0)^2+(y-y_0)^2\big)}.\end{aligned} \)

Przykład 2:

Znaleźć rozwiązanie równania Laplace'a

\( u_{xx}+ u_{yy}=0 \)

w obszarze \( \hskip 0.3pc \Omega=\{(x,y)\in \mathbb R^2: \, x>0,\hskip 0.4pc y>0 \},\hskip 0.3pc \)
spełniające warunki:

\( u(x,0)=A\quad {\rm dla}\hskip 0.5pc 0<x<+\infty,\qquad u(0,y)=B\quad {\rm dla}\hskip 0.5pc 0<y<+\infty . \)

Funkcje Greena dla powyższego problemu wyznaczymy metodą odwzorowań konforemnych. W tym celu zauważmy, że funkcja \( \hskip 0.3pc h(z)=z^2\hskip 0.3pc \) odwzorowuje konforemnie obszar \( \hskip 0.3pc \Omega\hskip 0.3pc \) na półpłaszczyznę Im \( \hskip 0.3pc z=y>0,\hskip 0.3pc \) natomiast funkcja \( \hskip 0.3pc g(z)=(z-z_0)/(z-\overline z_0),\hskip 0.3pc \) gdzie Im \( \hskip 0.3pc z_0>0,\hskip 0.3pc \) odwzorowuje konforemnie półpłaszczyznę Im \( \hskip 0.3pc z>0\hskip 0.3pc \) na kulę \( \hskip 0.3pc |z|<1.\hskip 0.3pc \) Zatem funkcja złożona

\( f(z;z_0)=(g\circ h)(z)=\dfrac{z^2-z_0^2}{z^2-\overline z_0^2}, \)

odwzorowuje konforemnie obszar \( \hskip 0.3pc \Omega\hskip 0.3pc \) na kulę \( \hskip 0.3pc |z|<1.\hskip 0.3pc \)
Zgodnie z wzorem ( 3 ) funkcja Greena dla obszaru \( \hskip 0.3pc \Omega\hskip 0.3pc \) ma postać

\( \begin{aligned}G(x,y,x_0,y_0)= & -\dfrac 1{2\pi}\ln \Big| \dfrac{z^2- z_0^2}{z^2- \overline z_0^2}\Big| =\dfrac 1{2\pi}\ln \Big| \dfrac{x^2-y^2-x_0^2+y_0^2)+2i(xy+x_0y_0)}{(x^2-y^2-x_0^2+y_0^2)+2i(xy-x_0y_0)}\Big|=\\=&\dfrac 1{4\pi}\ln \dfrac{(x^2-y^2-x_0^2+ y_0^2)^2+4(xy+x_0y_0)^2}{(x^2-y^2-x_0^2+y_0^2)^2+4(xy-x_0y_0)^2}.\end{aligned} \)

Wstawmy \( \hskip 0.3pc (\xi ,\eta )\hskip 0.3pc \) w miejsce \( \hskip 0.3pc (x_0,y_0)\hskip 0.3pc \) i obliczmy pochodne czątkowe:

\( \dfrac {\partial G}{\partial \xi }\Big|_{\xi =0} = \dfrac{2xy}{\pi \big((x^2-y^2+\eta ^2)+4x^2y^2\big)},\hskip 1.5pc \dfrac{\partial G}{\partial \eta }\Big|_{\eta =0} = \dfrac{2xy}{\pi \big((x^2-y^2+\xi ^2)+4x^2y^2\big)}. \)

Ponieważ \( \hskip 0.3pc \dfrac{\partial G}{\partial \upsilon }(0,\eta )=\dfrac{\partial G}{\partial \xi}(0,\eta )\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc \eta >0\hskip 0.3pc \) oraz \( \hskip 0.3pc \dfrac{\partial G}{\partial \upsilon }(\xi ,0) = \dfrac{\partial G}{\partial \eta}(\xi ,0 )\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc \xi >0\hskip 0.3pc \), wykorzystując wzór (9.8) otrzymamy

\( \begin{aligned} u(x,y)=&\dfrac {2A}{\pi}\displaystyle\int_0^{+\infty}\xi \dfrac {\partial G}{\partial\eta}(x,y,\xi ,0)d\xi+ \dfrac {2B}{\pi}\displaystyle\int_0^{+\infty}\eta \dfrac{\partial G}{\partial\xi}(x,y,0,\eta )d\eta =\\=&\dfrac {2A}{\pi}\displaystyle\int_0^{+\infty} \dfrac {xy\xi}{(x^2-y^2-\xi^2) + 4x^2y^2}d\xi+\dfrac {2A}{\pi}\displaystyle\int_0^{+\infty} \dfrac{xy\eta}{(x^2-y^2-\eta^2)+4x^2y^2}d\eta =\\=&\dfrac{2A}{\pi}\Big(\pi +2{\rm arctg}\,\dfrac{x^2-y^2}{2xy}\Big) +\dfrac{2B}{\pi}\Big(\pi -2{\rm arctg}\,\dfrac{x^2-y^2}{2xy}\Big).\end{aligned} \)

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka

Wyznaczanie funkcji Greena przy pomocy odwzorowań konforemnych

Definicja 1:

Uwaga 1:

Przykład 1:

Przykład 2: